0,999...
alternativa prezento de la reelo 1 / From Wikipedia, the free encyclopedia
Matematike, la ripetanta cifero 0,999…, kiu estas ankaŭ skribita kiel , aŭ , estas reela nombro egala al 1. Alie dirita, la skribaĵoj "0,999…" kaj "1" reprezentas la saman reelan nombron. Tiu egaleco estas sciita de profesiaj matematikistoj kaj skribita en matematikaj lernolibroj. Pluraj pruvoj de tiu idento estis kreita laŭ diversaj niveloj kaj gradoj de rigoro, preferata evoluo de la reelaj nombroj, jamscia fono, historia kunteksto, kaj celita aŭskultantaro.
En la lastaj dekjaroj, esploristoj pri matematika edukado studis, kiel studentoj akceptas tiun egalecon. Multo da ili kontestas la egalecon, almenaŭ unue. Post legado de lernolibroj, klarigado de instruisto, kaj legado de pruvoj, multo opinias malsame kaj akceptas, ke la du nombroj estas samaj. Tamen, ili ofte estas tiel necerta, ke ili asertas pli da malpravaj pravigoj. La rezonado de la studentoj ofte rilatas al malĝustaj intuicioj pri reelaj nombroj. Ekzemple, ili ofte pensas, ke ĉiu reela nombro havas malsimilan decimalan ekspansion, ke ekzistas nenulaj malfiniomalgrandaj reelaj nombroj, aŭ ke la ekspansio de 0,999… finiĝas eventuale.
La ne-malsimileca de tiaj ekspansioj ne videblas nur en la dekuma sistemo. La sama fenomeno okazas per aliaj entjeraj bazoj (alia ol 10), kaj matematikistoj trovis metodojn skribi 1 per ne-entjeraj bazoj. Tiu fenomenoj vidiĝas ankaŭ je aliaj nombroj: ĉiu nenula nombro, kies decimaloj finiĝas havas ĝemelon, kiu havas ne-finiĝantan naŭojn. Por esti simpla, la versio havanta finiĝantan decimalojn estas preskaŭ ĉiam preferata, kaj tial oni ofte pensas, ke ĝi estas la sola prezento. Fakte, kiam senfinaj ekspansioj estas permisataj, ĉiuj posiciaj numeralaj sistemoj enhavas senliman nombron da alternativaj prezentoj de ĉiu nombro. Ekzemple, 28,3287 estas 28,3286999…, kaj 28,3287000, kaj aliaj. Tiuj pluraj identoj estas helpiloj por la kompreno de la decimala ekspansio de frakcioj, kaj la strukturo de simplaj fraktaloj, la aro de Kantor.
Numerala sistemoj per kiu la egaleco ne okazas povas esti konstruata, sed tiuj sistemoj estas ĉiam ekster la sistemo de reelaj nombroj.