1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
diverĝa serio / From Wikipedia, the free encyclopedia
En matematikoj, la esprimo 1 − 2 + 3 − 4 + · · · estas senfina serio kies terminoj estas la pozitivaj entjeraj numeroj, tio estas naturaj numeroj, kiu ĝi alternas siajn signojn. Uzante matematikan notacion por sumatorias, la sumo de la unua m terminoj de la serio esprimas sin kiel:
Ĉi tiu artikolo bezonas poluradon, ĉar ĝi montras stilajn kaj/aŭ gramatikajn kaj/aŭ strukturajn problemojn, kiuj ne konformas al stilogvido.
La priskribo de la problemo troviĝas ĉi tie. Bonvolu ŝanĝi la enhavon por plibonigi la artikolon. |
Estas diverĝa serio, en la senso ke la gamo de ĝiaj partaj sumoj (1, −1, 2, −2, …) ne inklinas neniun limon finito. En ekvivalenta formo oni diras ke 1 − 2 + 3 − 4 + · · · ne posedas sumon.
Tamen, meze de la 18a jarcento, Leonhard Eŭlero malkovras la sekvan rilaton kvalifikante ĝin de paradoksa:
Ne estos ĝis multa tempo poste kiu oni sukcesas sin doni kun strikta ekspliko de la rilato. Al komencoj de la jardeko de 1890, Ernesto Cesàro kaj Émile Borel inter aliaj, ili enketis metodojn bone difinitaj por trovi sumojn ĝeneraligitajn de la diverĝaj serioj – inkludante novajn interpretojn de la provoj realigitaj de Eŭlero. Multaj de ĉi tiuj metodoj nomitaj sumacion atribuas al (1 − 2 + 3 − 4 + · · ·) "sumo" de 1⁄4. La metodo de sumo de Cesàro estas unu el la malmultaj metodoj kiujn ne adicias la serio 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, tial ĉi tiu serio estas ekzemplo de kazo kie oni devas uzi pli fortikan metodon kiel ekzemple la metodo de sumo de abel.
La serio 1 − 2 + 3 − 4 + · · · situas rilatigita kun la serio de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Eŭlero analizis ĉi tiujn du seriojn kiel specialajn kazojn de (1 − 2n + 3n − 4n + · · ·) por arbitraj valoroj de n, linio de esploro kiu etendas sian kontribuon al la problemo de Basilea kaj stiras al la funkciaj ekvacioj de kion ni konas hodiaŭ kiel la funkcio eta de Dirichlet kaj la funkcio zo de Riemann.