1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
From Wikipedia, the free encyclopedia
A matematikában az 1 − 2 + 3 − 4 + ··· egy végtelen alternáló sor, ami a pozitív egészekből áll váltakozó előjellel. Az első m tag összege:
Ez a sor divergens, vagyis parciális összegeinek nincs határértéke: (1, −1, 2, −2, ...). A 18. század közepén azonban Leonhard Euler ezt a paradox egyenlőséget írta fel:
Az egyenletet csak sokkal később sikerült matematikai pontossággal megérteni. Az 1890-es évektől Ernesto Cesàro, Émile Borel és mások jóldefinált módszereket gondoltak ki divergens sorok általánosított összegének meghatározására. Ezek közül több is az 1⁄4 általánosított összeget adta meg az 1 − 2 + 3 − 4 + ... sor esetén. Néhány módszer, például a Cesàro-összegzés nem konvergál, így megmutatja, hogy az összegzéshez szigorúbb módszer kell, például az Abel-szummáció.
Az 1 − 2 + 3 − 4 + · · · sor közel áll az 1 − 1 + 1 − 1 + ... Grandi-sorhoz. Euler ezek közös általánosításával foglalkozott; az 1 − 2n + 3n − 4n + ... sort vizsgálta. Ebből ered a bázeli probléma, ami elvezetett a függvényegyenletekhez, amiből a Dirichlet-féle éta-függvény és a Riemann-féle zéta-függvény is adódott.