Λήμμα των Σάπλεϊ-Φόλκμαν
From Wikipedia, the free encyclopedia
Το Λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν είναι αποτέλεσμα της κυρτής γεωμετρίας με εφαρμογές στα οικονομικά μαθηματικά που περιγράφει την συνόλων του Μινκόφσκι σε ένα διανυσματικό χώρο. Η προσθήκη του Μινκόφσκι ορίζεται ως η πρόσθεση συνόλων, για παράδειγμα, προσθέτοντας το σύνολο που αποτελείται από τους ακέραιους μηδέν και ένα που αποδίδονται στον εαυτό τους και αποτελείται από μηδέν, ένα και δύο:
- {0, 1} + {0, 1} = {0 + 0, 0 + 1, 1 + 0, 1 + 1} = {0, 1, 2}.
Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: μετάφραση λέξεων, διόρθωση συνδέσμων Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων. |
Το λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν και τα σχετικά αποτελέσματα παρέχουν μια καταφατική απάντηση στο ερώτημα, "Είναι το άθροισμα των πολλών συνόλων κοντά στο να είναι κυρτό?"[2] Ένα σύνολο ορίζεται να είναι κυρτό αν κάθε ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία της είναι υποσύνολο του συνόλου. Για παράδειγμα, ο στερεός δίσκος είναι ένα κυρτό σύνολο, αλλά ο κύκλος δεν είναι, γιατί το τμήμα της γραμμής που συνδέει δύο διακριτά σημεία δεν είναι ένα υποσύνολο του κύκλου. Το λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν υποδηλώνει ότι αν ο αριθμός των συνόλων που αθροίζονται υπερβαίνει τη διάσταση του διανύσματος του χώρου, τότε το Μινκόφσκι άθροισμά τους είναι περίπου κυρτή.[1]
Το λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν εισήχθη ως ένα βήμα προς την απόδειξη του θεωρήματος των Σάπλεϊ- Φόλκμαν, το οποίο ορίζει ένα ανώτατο όριο για την Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ του αθροίσματος Μινικόφσκι και το κυρτό του κύτους τους. Το κυρτό περίβλημα ενός συνόλου Q είναι το μικρότερο κυρτό σύνολο που περιέχει την Q. Αυτή η απόσταση είναι μηδέν αν και μόνο αν το άθροισμα είναι κυρτό. Το θεώρημα του δεσμευμένου εξαρτάται από την διάσταση D και τα σχήματα των summand-συνόλων, αλλά όχι από τον αριθμό των συνόλων summand-Ν, όταν τοwhen N > D. Τα σχήματα ενός μοναδικού υποσυνόλου ϋ summand καθορίζουν την δεσμευμένη απόσταση μεταξύ του μέσου όρου των Ν Μινοκόφσκι συνόλων
- 1⁄N (Q1 + Q2 + ... + QN)
και το κυρτό του κύτους του. Όσο το Ν πηγαίνει στο άπειρο, τα δεσμευμένα μειώνεται στο μηδέν (για summand-σύνολα ομοιόμορφα και φραγμένου μεγέθους).[3] Το πάνω όριο του θεωρήματος των Σάπλεϊ- Φόλκμαν μειώθηκε από πόρισμα του Σταρ (εναλλακτικά, το θεώρημα Shapley-Folkman-Starr).
Το λήμμα των Λόιντ Σάπλει και Τζον Φόλκμαν δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά από τον οικονομολόγο Ρος Μ. Σταρ, ο οποίος ερευνούσε την ύπαρξη οικονομικής ισορροπίας ενώ σπούδαζε με τον Κένεθ Άροου.[1] Στο έγγραφό του, ο Σταρ μελέτησε την κυρτή μορφή της οικονομίας, όπου τα μη- κυρτά σύνολα αντικαταστάθηκαν από αντίστοιχα κυρτά˙ Ο Σταρ απέδειξε ότι η οικονομία έχει κυρτές ισορροπίες που προσεγγίζονται από τους "οιωνούς ισορροπίας" της αρχικής οικονομίας. Επιπλέον, αποδείχθηκε ότι κάθε οιωνός ισορροπίας έχει πολλές από τις καλύτερες δυνατές ιδιότητες της αληθινής ισορροπίας, τα οποία αποδείχθηκαν ότι υπάρχουν για κυρτές οικονομίες. Μετά την έκθεση του Σταρ το 1969, τα αποτελέσματα των Σάπλει- Φόλκμαν- Σταρ έχουν χρησιμοποιηθεί ευρέως για να δείξουν ότι τα βασικά αποτελέσματα των (κυρτών) οικονομικών θεωριών είναι καλής προσεγγίσεις σε μεγάλες οικονομίες μη κυρτές, για παράδειγμα, οιωνοί ισορροπίας σε στενή προσέγγιση ισορροπίας μίας κυρτής οικονομίας. «Η παραγωγή αυτών των αποτελεσμάτων σε γενική μορφή υπήρξε ένα από τα σημαντικότερα επιτεύγματα της μεταπολεμικής οικονομικής θεωρίας», έγραψε ο Roger Guesnerie.[4] Το θέμα των μη κυρτών συνόλων στα οικονομικά έχει μελετηθεί από πολλούς νομπελίστες, εκτός από τον Λόιντ Σάπλει που κέρδισε το βραβείο το 2012: Arrow (1972), Robert Aumann (2005), Gérard Debreu (1983), Tjalling Koopmans (1975), Paul Krugman (2008),και Paul Samuelson (1970. Το συμπληρωματικό θέμα των κυρτών συνόλων στα οικονομικά έχει τονιστεί από τους βραβευθέντες, μαζί με τους Leonid Hurwicz, Leonid Kantorovich (1975), and Robert Solow (1987).
Το λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν έχει εφαρμογές στη βελτιστοποίηση και στη θεωρία πιθανοτήτων.[3] Στη θεωρία βελτιστοποίησης, το λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν έχει χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει την επιτυχή επίλυση των προβλημάτων ελαχιστοποίησης που είναι αποτέλεσμα πολλών συναρτήσεων.[5][6] Το λήμμα των Σάπλεϊ- Φόλκμαν έχει επίσης χρησιμοποιηθεί στις αποδείξεις των «νόμος των μέσων όρων" για τυχαία σύνολα, ένα θεώρημα που είχε αποδειχθεί μόνο για τα κυρτά σύνολα.[7]