שארית של טור טיילור
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
באנליזה מתמטית, שארית של טור טיילור מסדר של פונקציה, היא ההפרש בין ערך הפונקציה לבין ערכו של סכום הרכיבים הראשונים בטור טיילור שלה.
על פי העיקרון של טורי טיילור, פונקציה הניתנת לתיאור באמצעותו יכולה להכתב כך:
כאשר הוא פולינום טיילור מסדר n, ו- הוא סימון אסימפטוטי לשארית המתקבלת מהקירוב על ידי פולינום טיילור מסדר n.
כיוון שהטור האינסופי אמור להתכנס אל הפונקציה בנקודה, השארית מתארת את השגיאה שבהחלפת הפונקציה בסכום חלקי של הטור. ישנן מספר שיטות לחסום שגיאה זאת. בניהן:
השארית בצורת פאנו איננה מפורשת, והוכחתה נובעת ישירות מהגדרת הנגזרת. שתי האחרות מפורשות יותר, וקושרות את השארית ה--ית לנגזרת ה-. שתיהן נובעות ממשפט הערך הממוצע של לגראנז', שהוא בעצמו מקרה פרטי של משפט הערך הממוצע של קושי.