Bølgeligning
From Wikipedia, the free encyclopedia
En bølgeligning er en differensialligning som beskriver hvordan en bølge beveger seg. I klassisk fysikk beskriver den utbredelsen av felt som for eksempel lyd eller lys. Den kan anta ulike former som for eksempel i hydrodynamikken ved beskrivelse av vannbølger, avhengig av ønsket nøyaktighet. I kvantemekanikken er Schrödinger-ligningen en bølgeligning for materiebølger som beskriver partikler. Forskjellige former opptrer også i relativistisk kvantemekanikk og innen kvantefeltteori. Da partikler her opptrer som kvanter, kan bølgeligningen i denne sammenhengen betraktes som en generalisering av Newtons ligninger i klassisk mekanikk.
Ved å løse bølgeligningen, finner man hvordan utslaget eller feltet F(t,x) beveger seg i tid t og rom, gitt vanligvis ved de kartesiske koordinatene x = (x,y,z). De fleste bølgeligningene er lineære som betyr at hvis man kjenner to løsninger, så er også summen av dem en løsning.
Den mest vanlige bølgeligning ble funnet av Jean le Rond d'Alembert på midten av 1700-tallet for en svingende streng. Omtrent samtidig ble dens egenskaper videre undersøkt av Daniel Bernoulli og Leonhard Euler som også generaliserte den til bølger som beveget seg i mer enn én dimensjon. Hvis c er bølgehastigheten, kan den skrives som
når man benytter Laplace-operatoren i det siste leddet. Da utslaget av en svingende streng er på tvers av bølgens bevegelsesretning, sies den tilsvarende bølgen å være «transvers». Men i en lydbølge er utslaget gitt ved trykkforandringer langs bølgeretningen. Den er derfor eksempel på en «longitudinal» bølge. Begge disse mekaniske bølgetypene beskriver skalarfelt som tar reelle verdier. Elektromagnetiske bølger består av transverse, reelle vektorfelt, mens gravitasjonsstråling er beskrevet ved et reelt tensorfelt. Derimot vil kvantemekaniske bølgeligninger vanligvis beskrive utbredelsen av komplekse kvantefelt.