Bất đẳng thức
From Wikipedia, the free encyclopedia
Trong toán học, một bất đẳng thức (tiếng Anh: Inequality) là một phát biểu về quan hệ thứ tự và độ lớn của giá trị giữa hai số hoặc các biểu thức toán học. Nó thể hiện mối quan hệ không bằng nhau, vì thế nên dược gọi là bất đẳng thức, ngược với đẳng thức. Nó thường được sử dụng để so sánh hai số trên trục số theo giá trị của chúng. Người ta sử dụng các kí hiệu khác nhau để biểu thị cho các bất đẳng thức khác nhau, ví dụ:
- có nghĩa là a nhỏ hơn b.
- có nghĩa là a lớn hơn b.
Bài viết này cần được cập nhật do có chứa các thông tin có thể đã lỗi thời hay không còn chính xác nữa. |
Trong cả hai trường hợp trên, a không bằng b. Những bất đẳng thức nói trên được gọi là bất đẳng thức chặt chẽ, chỉ thể hiện rằng a hoàn toàn nhỏ hơn hoặc lớn hơn b.
Ngoài ra, ta còn có những bất đẳng thức không chặt chẽ:
- có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b.
- có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b.
- có nghĩa là giá trị tuyệt đối của a lớn hơn hoặc bằng a.
Mối quan hệ không lớn hơn (tức nhỏ hơn hoặc bằng) có thể được biểu diễn là a >/ b, ký hiệu > (lớn hơn) được chia đôi bởi dấu gạch chéo (nghĩa là không). Tương tự với cách biểu diễn cho mối quan hệ không nhỏ hơn (tức lớn hơn hoặc bằng) là a ≮ b.
Một bất đẳng thức nữa là a ≠ b, có nghĩa là a không bằng b. Bất đẳng thức này đôi khi được coi là một dạng bất đẳng thức chặt chẽ. Nó không nói rằng a lớn hơn b hay ngược lại, cũng không nói rằng a bằng b. Nó chỉ thể hiện rằng giá trị của a khác so với giá trị của b.
Trong khoa học kỹ thuật, người ta còn sử dụng một số kí tự ít phổ biến hơn để biểu thị một số bất đẳng thức, mà chúng chỉ ra rằng một giá trị "lớn hơn nhiều" hay "nhỏ hơn nhiều" so với giá trị khác:
- Ký hiệu a ≪ b có nghĩa là a nhỏ hơn nhiều so với b.
- Ký hiệu a ≫ b có nghĩa là a lớn hơn nhiều so với b.
Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó.
Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm.
Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là
- Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức.
- Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương trình.
- Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của một biểu thức một hay nhiều biến. Đó gọi là tìm cực trị.