Μαθηματική απόδειξη
From Wikipedia, the free encyclopedia
Μαθηματική απόδειξη είναι μια μη κενή διαδικασία (δηλαδή, είναι μία διαδικασία η οποία περιλαμβάνει ένα τουλάχιστον λογικό βήμα) η οποία επικυρώνει ότι κάποια μαθηματική πρόταση είναι ορθή, μέσα στα αποδεκτά πλαίσια του πεδίου των μαθηματικών. Η απόδειξη παράγεται αναγωγικά και όχι εμπειρικά. Δηλαδή, η απόδειξη πρέπει να δείχνει ότι μια πρόταση είναι αληθής για όλες τις περιπτώσεις που εφαρμόζεται, χωρίς καμία εξαίρεση. Μια πρόταση χωρίς απόδειξη για την οποία πιστεύεται ή υπάρχουν ισχυρές υποψίες ότι ισχύει, λέγεται εικασία.
Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές. |
Οι αποδείξεις χρησιμοποιούν τη λογική αλλά συνήθως περιέχουν σε κάποιο βαθμό φυσική γλώσσα, που συνήθως επιτρέπει κάποια ορισμένη αμφισημία. Όντως, η συντριπτική πλειονότητα των αποδείξεων στα γραπτά μαθηματικά μπορούν να θεωρηθούν εφαρμογές της άτυπης λογικής. Αμιγώς τυπικές αποδείξεις μελετώνται από τη θεωρία αποδείξεων. Η διάκριση μεταξύ άτυπης και τυπικής απόδειξης έχει οδηγήσει σε επανεξέταση της τρέχουσας και ιστορικής μαθηματικής πρακτικής, ημιεμπειρικά μαθηματικά και τα λεγόμενα λαϊκά μαθηματικά. Η φιλοσοφία των μαθηματικών ασχολείται με τον ρόλο της γλώσσας και της λογικής στις αποδείξεις, καθώς και των μαθηματικών ως γλώσσα.
Άσχετα από τον βαθμό της τυπικότητας που ακολουθείται, το αποτέλεσμα που αποδεικνύεται λέγεται θεώρημα. Σε μια εντελώς τυπική απόδειξη αυτό είναι η τελευταία γραμμή, και η απόδειξη δείχνει πως αυτό ακολουθεί από τα αξιώματα μόνο, με εφαρμογή των κανόνων συναγωγής. Όταν ένα θεώρημα έχει αποδειχθεί, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βάση για την απόδειξη άλλων προτάσεων. Ένα θεώρημα μπορεί να λέγεται και λήμμα αν χρησιμοποιείται ως βήμα στην απόδειξη ενός θεωρήματος. Τα αξιώματα είναι οι προτάσεις αυτές που δεν γίνεται, ή δεν χρειάζεται, να αποδεικτούν. Αυτά ήταν στο παρελθόν η βασική μελέτη των φιλόσοφων των μαθηματικών, ενώ πρόσφατα εστιάζουν περισσότερο στη μαθηματική πρακτική, δηλαδή τι αποτελεί αποδεκτή τακτική.