ヤコビの公式ウィキペディア フリーな encyclopedia 行列の微分積分学(英語版)において、ヤコビの公式(英語: Jacobi's formula)は行列 A の導函数および余因子を用いて行列式の導函数を表す方法である[1]。 A を実数から n × n 行列への微分可能な写像とすると、tr(X) を行列 X の跡として d d t det A ( t ) = tr ( adj ( A ( t ) ) d A ( t ) d t ) = ( det A ( t ) ) ⋅ tr ( A ( t ) − 1 ⋅ d A ( t ) d t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)=\left(\det A(t)\right)\cdot \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\cdot \,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)} となる(右の等号は A(t) が正則な場合にのみ成立する)。 特殊例として、次の式が成り立つ。 ∂ det ( A ) ∂ A i j = adj ( A ) j i {\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}} dA を A の導函数とすると、公式は次のようになる。 d det ( A ) = tr ( adj ( A ) d A ) {\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA)} 名称は数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビにちなむ。
行列の微分積分学(英語版)において、ヤコビの公式(英語: Jacobi's formula)は行列 A の導函数および余因子を用いて行列式の導函数を表す方法である[1]。 A を実数から n × n 行列への微分可能な写像とすると、tr(X) を行列 X の跡として d d t det A ( t ) = tr ( adj ( A ( t ) ) d A ( t ) d t ) = ( det A ( t ) ) ⋅ tr ( A ( t ) − 1 ⋅ d A ( t ) d t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)=\left(\det A(t)\right)\cdot \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\cdot \,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)} となる(右の等号は A(t) が正則な場合にのみ成立する)。 特殊例として、次の式が成り立つ。 ∂ det ( A ) ∂ A i j = adj ( A ) j i {\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}} dA を A の導函数とすると、公式は次のようになる。 d det ( A ) = tr ( adj ( A ) d A ) {\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA)} 名称は数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビにちなむ。