九点円錐曲線
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幾何学において、九点円錐曲線(きゅうてんえんすいきょくせん 、nine-point conic)または9点円錐曲線とは、ある4点に対して一意に決まる円錐曲線である。
1892年マクシム・ボッチャー(英語版)が4点が完全四辺形(英語版)を成す場合について研究した[1]。それらはボッチャー円錐曲線と呼ばれたこともあった。九点円、九点双曲線(英語版)はボッチャー円錐曲線の例である。
- △ABCと点Pについて、以下の9点を通る円錐曲線が存在する。この円錐曲線を九点円錐曲線と言う。
- △ABCの各辺の中点
- AP,BP,CPの中点
- AP,BCの交点、BP,CAの交点、CP,ABの交点
Pが△ABCの内部または、二辺の外側にある場合、九点円錐曲線は楕円となる。そうでない場合は双曲線となる。ボッチャーはPが垂心であるとき、九点円錐曲線は九点円、Pが外接円上にあるときは直角双曲線になることを発見した。
1912年、Maud Minthornは、4点を通る円錐曲線の中心の軌跡が、その九点円錐曲線であることを示した[2]。