Paradoks Banacha-Tarskiego
twierdzenie matematyczne / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Paradoks Banacha-Tarskiego?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Paradoks Banacha-Tarskiego (paradoks Hausdorffa-Banacha-Tarskiego, paradoksalny rozkład kuli) – paradoksalne twierdzenie teorii miary sformułowane i udowodnione przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w 1924 roku.
Twierdzenie głosi, że trójwymiarową kulę można „rozciąć” na skończoną liczbę części (wystarczy ich pięć), a następnie używając wyłącznie przesunięć i obrotów można złożyć z tych części dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej.
Paradoksalne jest to, że z jednej strony w wyniku operacji rozcinania, przesunięcia, obracania i składania następuje podwojenie objętości kuli, z drugiej użyte operacje przesunięcia i obrotu są izometriami i zachowują objętość brył.
Źródło paradoksu tkwi w tym, że części, na które dzielona jest kula, są zbiorami niemierzalnymi (w sensie Lebesgue’a), tj. nie mają objętości i nie stosuje się do nich addytywność miary, zgodnie z którą suma miar rozłącznych zbiorów mierzalnych jest miarą sumy mnogościowej tych zbiorów.
Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki uświadamiają ograniczenia możliwych rozszerzeń miary Lebesgue’a, które miałyby pozostać niezmiennicze względem pewnych przekształceń przestrzeni euklidesowych[1].
Paradoks Banacha-Tarskiego ma swoją popularną wersję: ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca.
W jednej z książek dotyczących paradoksu Banacha-Tarskiego zamieszczone jest motto[1] wskazujące jeden ze sposobów rozwiązania problemu delijskiego:
- Delijczycy: W jaki sposób możemy uwolnić się od zarazy?
- Wyrocznia delficka: Powiększcie dwukrotnie objętość ołtarza Apolla zachowując jego kształt sześcianu!
- Banach i Tarski: Czy możemy użyć aksjomatu wyboru?