Punkt przegięcia
typ punktu na krzywej i w dziedzinie funkcji zmiennej rzeczywistej / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Punkt przegięcia?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Punkt przegięcia – niejednoznaczne pojęcie matematyczne, definiowane inaczej – i nierównoważnie – w analizie oraz geometrii. W obu dyscyplinach występują różne konwencje znaczeń:
- dla funkcji rzeczywistej o zmiennej rzeczywistej jest to pewien punkt w jej dziedzinie lub na wykresie. Zachodzi w nim zmiana wypukłości, tj. po jednej stronie przegięcia funkcja jest wypukła, a po drugiej – wklęsła[1][2]. Ta definicja jest niejednoznaczna przez różne użycie nazw „wypukłość” i „wklęsłość”; oprócz tego bywa zawężana dodatkowymi warunkami na zachowanie funkcji w tym miejscu. Przy niektórych z tych zawężeń – oraz innych definicjach, nieodwołujących się do wypukłości – punkt przegięcia wykresu staje się szczególnym przypadkiem sensu geometrycznego:
- dla ogólnych krzywych płaskich punkt przegięcia to taki, w którym istnieje styczna i „przechodzi” ona z jednej strony krzywej na drugą[3][4]. W sensie ścisłym i węższym[5]: w pewnym sąsiedztwie przegięcia krzywa zawiera się we wnętrzu kątów wierzchołkowych utworzonych przez styczną i normalną[6]. Można to też formalizować przez zmianę znaku krzywizny[7], choć wymaga to innych założeń o własnościach krzywej[potrzebny przypis].
Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Oprócz tego znaczenia z pierwszej grupy mają swoje warunki wystarczające jak:
- ekstremum pierwszej pochodnej we wnętrzu dziedziny[8],
- zmiana znaku drugiej pochodnej[9][10],
- zmiana znaku pewnych wyrażeń z pierwszą lub drugą pochodną w przegięciu,
- zerowanie się pochodnych kolejnych rzędów między pierwszym a pewnym rzędem nieparzystym, dla którego wartość pochodnej jest niezerowa[11][12]:
Kryteria te istnieją dzięki twierdzeniom o różniczkowalnych funkcjach wypukłych i wklęsłych. Przy pewnym zawężeniu pojęć te warunki wystarczające stają się równoważnymi; bywają wręcz używane jako definicje[11].
Pojęcie to wprowadził do matematyki prawdopodobnie Gilles de Roberval; posłużył się nim w 1636 roku, w liście do Pierre’a Fermata. O przegięciach pod innymi nazwami wspominali potem między innymi Gottfried Wilhelm Leibniz i Isaac Newton[13].