Dãy Cauchy
From Wikipedia, the free encyclopedia
Trong toán học, dãy Cauchy (phát âm tiếng Pháp: [koʃi]; tiếng Anh: /ˈkoʊʃiː/ KOH-shee), được đặt tên theo nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, là dãy mà các phần tử tiến đến gần nhau tùy ý khi dãy tiếp tục.[1] Chính xác hơn, cho bất cứ khoảng cách nhỏ nào, hầu như tất cả các phần tử trong dãy ngoại trừ hữu hạn một số phần tử ra có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn khoảng cách đã cho.
Điều kiện phần tử đứng sau gần tùy ý với phần tử ngay trước đó không phải điều kiện đủ. Ví dụ chẳng hạn, trong dãy căn bậc hai của các số tự nhiên: hai phần tử liên tiếp đó gần với nhau:
Tuy nhiên, khi chỉ số n lớn, các phần tử có thể lớn tùy ý. Do đó với bất kỳ chỉ số n và khoảng cách d, tồn tại chỉ số m đủ lớn sao cho (Thật ra chỉ cần là đủ.) Bởi vậy, bất kể dãy chạy tới đâu, các phần tử còn lại không bao giờ tiến gần đến nhau; do đó dãy này không phải dãy Cauchy.
Một ứng dụng của dãy Cauchy nằm trong không gian mêtric đầy đủ (không gian mà các dãy Cauchy trong đó hội tụ đến một giá trị nào đó), điều kiện cho hội tụ chỉ dựa trên các phần tử trong dãy, ngược lại với định nghĩa hội tụ dùng cả giá trị hội tụ và các phần tử trong dãy. Ta thường lợi dụng tính chất này cho các thuật toán trong lý thuyết và áp dụng.
Dạng tổng quát của các dãy Cauchy trong không gian đều tồn tại dưới dạng bộ lọc Cauchy và mạng Cauchy.