Tiên đề chọn
From Wikipedia, the free encyclopedia
Trong toán học, tiên đề chọn (tiếng Anh: axiom of choice) hay AC, là một tiên đề trong lý thuyết tập hợp tương đương với phát biểu một tích Descartes của một tập các tập hợp không rỗng thì không rỗng. Nói đơn giản hơn, tiên đề chọn cho phép từ một tập các thùng, mỗi thùng chứa ít nhất một vật nào đó, ta có thể chọn đúng một vật từ mỗi thùng, ngay cả khi số thùng là vô hạn. Chính xác hơn, đây là khẳng định với mỗi họ chỉ số (Si)i ∈ I gồm các tập khác rỗng, tồn tại một họ chỉ số (xi)i ∈ I gồm các phần tử sao cho xi ∈ Si với mọi i ∈ I. Tiên đề chọn được Ernst Zermelo phát biểu năm 1904 để hoàn tất chứng minh của ông cho định lý thứ tự tốt.[1]
Trong nhiều trường hợp, việc chọn như thế có thể được thực hiện mà không cần tiên đề chọn, ví dụ như nếu số tập hợp là hữu hạn, hoặc tồn tại một quy tắc chọn – một tính chất phân biệt nào đó đúng với duy nhất một phần tử trong mỗi tập hợp. Một ví dụ là họ các tập hợp chứa số tự nhiên. Từ những tập này, ta luôn có thể chọn phần tử nhỏ nhất, chẳng hạn với các tập {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}} tập chứa các phần tử nhỏ nhất tương ứng là {4, 10, 1}. Trong trường hợp này, quy tắc "chọn số nhỏ nhất" là một hàm chọn. Ngay cả khi ta có vô hạn tập chứa các số tự nhiên, ta vẫn luôn có thể chọn được số nhỏ nhất từ mỗi tập, tức hàm chọn này có thể được dùng cho mọi họ các tập số tự nhiên. Tuy nhiên, không có hàm chọn nào được biết có thể dùng cho họ tất cả tập con khác rỗng của tập số thực (nếu tồn tại số thực không dựng được). Khi đó, ta phải sử dụng tiên đề chọn.
Bertrand Russell đưa ra một phép so sánh: với mọi tập các đôi giày (có thể vô hạn), ta luôn có thể chọn chiếc giày trái từ mỗi đôi làm lựa chọn, tạo thành một hàm chọn. Mặt khác, với một tập các đôi vớ vô hạn (giả sử hai chiếc vớ đều giống nhau), không có cách nào hiển nhiên để định nghĩa một hàm chọn một chiếc vớ từ mỗi đôi, mà không sử dụng tiên đề chọn.[2]
Mặc dù vốn gây ra nhiều tranh cãi, tiên đề chọn hiện nay được hầu hết các nhà toán học sử dụng,[3] và được đưa vào dạng tiêu chuẩn của lý thuyết tập hợp tiên đề, lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel với tiên đề chọn (ZFC). Một lý do là bởi một số kết quả toán học được chấp nhận rộng rãi, ví dụ như định lý Tychonoff, cần tiên đề chọn để chứng minh. Các nhà lý thuyết tập hợp hiện nay cũng nghiên cứu các tiên đề không tương thích với tiên đề chọn, ví dụ như tiên đề xác định. Một số ngành của toán học, đặc biệt các nhánh của toán học kiến thiết, tránh việc sử dụng tiên đề chọn.